Задание № 20, страница 5 — Алгебра 8 класс Шыныбеков, Шыныбеков
Условие задания
С помощью примера объясните, в чём состоит графический способ решения системы линейных уравнений с двумя переменными.
Теория и правила из учебника
График линейного уравнения с двумя переменными — прямая. Каждая точка этой прямой имеет координаты, которые являются решением данного уравнения.
Решение системы — это пара чисел, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям. Поэтому при графическом способе строят графики обоих уравнений в одной координатной плоскости и определяют их общие точки:
- если прямые пересекаются, система имеет одно решение — координаты точки пересечения;
- если прямые параллельны и не совпадают, система не имеет решений;
- если прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.
Пошаговый ход решения
-
Шаг 1. Рассмотрим систему с одним решением.
В примере из решения запишем систему:
$$ \begin{cases} 11x+10y=120,\\ 6x+y=18. \end{cases} $$
Каждое уравнение задаёт прямую. Чтобы построить первую, удобно выразить $y$: $y=12-\frac{11}{10}x$. Для второй получаем $y=18-6x$. Например, для первой прямой подходят точки $(0;12)$ и $(10;1)$, а для второй — $(0;18)$ и $(3;0)$. Через пары точек проводят прямые.
-
Шаг 2. Найдём общее положение графиков.
На чертеже прямые пересекаются, значит, система имеет одно решение. Его координаты — координаты точки пересечения. Для точного определения этой точки приравняем выражения для $y$:
$$12-\frac{11}{10}x=18-6x,\qquad \frac{49}{10}x=6,\qquad x=\frac{60}{49}.$$
Подставим значение $x$ во второе уравнение: $y=18-6\cdot\frac{60}{49}=\frac{522}{49}$. Следовательно, графики пересекаются в точке $\left(\frac{60}{49};\frac{522}{49}\right)$; при построении по клеткам её положение можно определить приблизительно.
-
Шаг 3. Сопоставим графики с другими примерами из решения.
Для системы
$$ \begin{cases} 8x+20y=3,\\ 2x+5y=16 \end{cases} $$
первое уравнение после деления на $4$ принимает вид $2x+5y=\frac{3}{4}$. Получаются две прямые с одинаковыми коэффициентами при $x$ и $y$, но разными свободными членами. Они параллельны и не пересекаются, поэтому решений нет.
-
Шаг 4. Рассмотрим случай совпадающих графиков.
В системе
$$ \begin{cases} 5x+2y=-18,\\ 15x+6y=-54 \end{cases} $$
второе уравнение получается умножением первого на $3$. Значит, оба уравнения задают одну и ту же прямую. Каждая точка этой прямой подходит сразу к обоим уравнениям, поэтому решений бесконечно много.
Пошаговое построение в декартовой системе координат:
- Проведите взаимно перпендикулярные оси $Ox$ и $Oy$, отметьте точку пересечения $0$ и стрелки.
- Нанесите единичные отрезки на обеих осях.
- Составьте таблицу значений для двух контрольных точек и проведите через них график.
Итоговый ответ
Совет методиста
Не перепутайте график отдельного уравнения с решением системы: решение — не вся прямая, а только общая точка двух графиков. Если по чертежу координаты точки определить трудно, подставьте найденную пару чисел в оба уравнения и проверьте, что равенства выполняются.